Question

设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，已知a3=12,且S12>0,S13<0 （1）求公差d的范围 （2）问前

设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，已知a3=12,且S12>0,S13<0
（1）求公差d的范围
（2）问前几项的和最大，并说明理由

Answer 1

(1)∵a3=12
∴a1+2d=12
∴a1=12-2d
∵S12>0,S13<0
∴12a1+66d>0
13a1+78d<0
由a1=12-2d
得 24+7d>0
3+d<0
∴-24/7 < d < -3
(2)若要Sn取得最大，只需找到最后一个大于0的项即可。设 an>0，a(n+1)<0，则
an=a3+(n-3)d=12+(n-3)d>0 以及 a(n+1)=a3+(n-2)d=12+(n-2)d<0.
由 12+(n-3)d>0，d<-3，所以 12+(n-3)*(-3)>12+(n-3)d>0，因此 n<7;
由 12+(n-2)d<0，d>-24/7，所以 12+(n-2)*(-24/7)<12+(n-2)d<0，因此 n>11/2，由n是整数，所以 n>=6.
综上，6<=n<7，所以当整数n取值为 n=6 时Sn最大