Question

证明：若lim(n→∞)an=a,则lim(n→∞)|an|=|a|,举例说明反过来未必成立。（||an|-|a||<=|an-a|成立）

答案尽可能详细，谢谢``

Answer 1

lim(n→∞)an=a
对于任意的ε>0,存在N，当n≥N时，有|an-a|<ε
则有||an|-|a||< |an-a|<ε
即||an|-|a||< ε
因此lim(n→∞)|an|=|a|

反过来不成立，举例如下：
lim(n→∞)|(-1)^n|=|1|,
但lim(n→∞)(-1)^n不存在

Answer 2

lim(n→∞)an=a说明任取一个数e，总有N使得当n>N时|an-a|<e,而||an|-|a||<=|an-a|<e，所以同样的e和N对|an|数列也成立，所以lim(n→∞)|an|=|a|
反过来比如数列(-1)^n，很明显|an|的极限为1，而an没有极限