Question

齐次线性微分方程和齐次微分方程的区别。。。

齐次微分方程 即所有项次数相等 如dy/dx是0次， 常数也是0次 ， xy x^2 y^2 是2次 书上是dy/dx+f（y/x)=0
齐次线性微分方程 这里就举例一次的 : y'+p(x)y=0 其中y'是0次，而p(x)y不一定是0次，这么看齐次线性微分方程不是齐次微分方程吗？ 不知道表达清楚没有

Answer 1

齐次指方程关于y及其各阶导数是齐次的，用算式表达成，如果n阶微分方程表示成F(x,y,y',y'',...,y^(n))=0，那齐m次n阶微分方程满足么F(x,ay,ay',ay'',...,ay^(n))=(a^m)*F(x,y,y',y'',...,y^(n))，其中a是任意常数。举个特定的例子，就是假如方程是由(x,y,y',y'',...,y^(n))这些量相乘后相加得到的，那么每一项中含(y,y',y'',...,y^(n))的次数相等。
线性方程表示F对y及其各阶导数有线性性，用算式表达成，对于y及其各阶导数都有F(a*y1+b*y2)=a*F(y1)+b*F(y2)，由此可得n阶线性微分方程的一般形式为y^(n)+a(n-1)(x)*y^(n-1)+...+a(1)(x)*y+a(0)(x)=0（楼上的家伙错了，系数可以是x的函数）

那么齐次线性微分方程只能是齐一次线性微分方程，容易得到其一般形式为y^(n)+a(n-1)(x)*y^(n-1)+...+a(1)(x)*y=0，即在n阶线性微分方程的一般形式中令a(0)(x)=0

Answer 2

n阶微分方程的一般形式是F(x,y,y',y'',...,y^(n))=0，线性微分方程指的是方程中y以及y的各阶导数的系数都与x无关，且都是一次方，可以写成y^(n)+ay^(n-1)+...+by=f(x)的形式，如果f(x)≡0，就是n阶线性齐次微分方程。

教材上的齐次微分方程指的是可以写成y'=f(y/x)形式的一阶微分方程。这里的齐次与前面的其次有本质区别，这里的齐次指的是齐次函数。如果函数F(x,y)满足F(tx,ty)=t^kF(x,y)，称F(x,y)为k次齐次函数。如果k=0，那么零次齐次函数F(x,y)一定可以表示为f(y/x)的形式。

两种方程没有任何关系。

Answer 3

说什么好呢，你是在哪本山寨教材看到的定义啊……
齐次微分方程是指不存在常数项的微分方程，就是等号右边为零的方程。
齐次线性微分方程就是在前者基础上，要求各阶项是一个线性组合