Question

在△ABC中,分别以AB,BC,AC为边,在AB的同侧作等边三角形ABE,等边三角形BCD,等边三角形ACF，连接EF，FD

（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；
（2）探究：当△ABC满足什么条件时，四边形CDEF是矩形？四边形CDEF是菱形？四边形CDEF是正方形？
是连接EF和ED，我刚才打错了，见谅

Answer 1

(1)
∵△AFC是正三角形
∴∠FAE+∠EAC=∠FAC=60° AF=AC
∵△EAB是正三角形
∴∠CAB+∠EAC=∠FAC=60° AE=AB
∴∠FAE=∠CAB AF=AC AE=AB
∵△AFE≌△ACB
∴FE=CB=CD
同理，△EDB≌△ACB
∴ED=AC=FC
对边分别相等
∴四边形CDEF是平行四边形
(2)
要四边形CDEF是矩形，只需∠FCD=90°
又∠FCD=∠ACB
∴△ACB是以∠ACB为直角的直角三角形时，四边形CDEF是矩形
要四边形CDEF是菱形，只需四边相等
又FC=EC=AC FE=CD=BC
∴△ACB是以AC、BC为腰的等腰三角形时，四边形CDEF是菱形
要四边形CDEF是正方形，需同时满足上面两个条件
即△ACB是以∠ACB为直角的等腰直角三角形时，四边形CDEF是正方形

Answer 2

①∵ABEF四点共圆｛同弧AB上的圆周角60º相等｝，故∠EFB＝∠EAB＝60º｛同弧上的圆周角相等｝＝∠BCD（已知），
故CD∥EF｛同位角相等，二直线平行｝；同理得ED∥FC；
∴四边形CDEF是平行四边形｛两组对边分别平行｝。
②当∠ACB＝90º，四边形CDEF是矩形｛四个角是直角｝。当AC＝BC，四边形CDEF是菱形｛四边相等｝。
当∠ACB＝90º，且AC＝BC，四边形CDEF是正方形｛综合前面两个条件｝。

追问

我没学过四点共圆。。。