Question

已知定义域在实数集R上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0,且

已知定义域在实数集R上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0,且当x∈(-1,0)时,f(x)=-(3^x)/[(9^x)+1]
求函数f(x)在(-1,1)上的解析式；
判断f（x）在（0，1）上的单调性
当λ取何值时,方程f(x)=λ在(-1,1)上有实数解
求解答过程

Answer 1

(1)
f(-x)+f(x)=0
所以f(x)=-f(-x),f(0)=0
x=(-1,0)时，f(x)=-(3^x)/[(9^x)+1]
x=(0,1)时-x=(-1,0),f(-x)=-(3^-x)/[(9^-x)+1]=-3^x/(1+9^x)
所以f(x)=-f(-x)=3^x/(1+9^x)
所以f(x)解析式是：
3^x/(9^x+1) 0<x<1
0 x=0
-3^x/(9^x+1) -1<x<0
(2)x=(0,1)时
f(x)=3^x/(9^x+1)=3^x/[(3^x)^2+1]=1/(3^x+1/3^x)
判断f(x)的单调性等同于判断3^x+1/3^x的单调性
令0<x1<x2<1,g(x)=3^x+1/3^x
g(x2)-g(x1)=(3^x2+1/3^x2)-(3^x1+1/3^x1)=(3^x2-3^x1)+(1/3^x2-1/3^x1)
=(3^x2-3^x1)+(3^x1-3^x2)/3^(x1+x2)
=(3^x2-3^x1)[3^(x1+x2)-1]/3^(x1+x2)>0
所以g(x)是增函数且〉0，所以f(x)=1/g(x)是减函数
（3）
x=(0,1)时，f(x)=1/(3^x+1/3^x)
3^x+1/3^x>=2，3^x=1/3^x即x=0时取等号，所以f(x)=λ=1/(3^x+1/3^x)=(0,1/2)
同理x=(-1,0)时，f(x)=λ=(-1/2,0)
x=0时f(x)=λ=0
合并
λ=(-1/2,1/2)时有解