Question

已知函数f(x)=lnx,g(x)=(1/2)ax^2+2x,a≠0，若h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，求a的取

值范围，并求出它的减区间

Answer 1

这应该是讨论题，不知道题干是否有问题，a可以取全体实数。具体讨论如下：（如有不明白的，再聊）

h'（x）=1/x-ax+2=(-ax^2+2x+1)/x<0

(1-ax^2+2x)/x<0

1. ..a=0时，x>1/2或者x<0时，h'（x）=2+1/x<0，（1/2，正无穷大）或者（负无穷大，0）都是h（x）的单调递减区间。

2. a不等于0时，一元二次方程-ax^2+2x+1=0在a<-1时有两根，抛物线y=-ax^2+2x+1开口朝上，与x轴无交点，恒大于0.    x<0时h'（x）=1/x-ax+2=(-ax^2+2x+1)/x<0，则（负无穷大，0）为h（x）的单调递减区间。
   

3. a不等于0时，一元二次方程-ax^2+2x+1=0在a>=-1时有两根，记为x1<x2

   3.1    ..a<0时，抛物线y=-ax^2+2x+1开口朝上，在区间（负无穷大，min{0，x1}）内，-ax^2+2x+1>0,(-ax^2+2x+1)/x<0，则（负无穷大，min{0，x1}）是h（x）的单调递减区间。

   3.2    ..a>0时，抛物线y=-ax^2+2x+1开口朝下，在区间（max{0，x2}，正无穷大）内，-ax^2+2x+1<0,(-ax^2+2x+1)/x<0，则区间（max{0，x2}，正无穷大）是h（x）的单调递减区间。