Question

定积分应用之极坐标问题？

求解一题：(1993,1) 双纽线（x^2+y^2)^2=x^2-y^2 所围成的区域面积可用定积分表示为：（ ） 问：在遇到较为复杂的极坐标（或自己不熟悉的）怎么应付？

Answer 1

1、双纽线不算是复杂的图形，同济版高数上册附录里有其图形2、从其直角坐标方程即可看出双纽线关于两个坐标轴都对称，所以只要计算第一象限部分，再乘以4即可双纽线的极坐标方程是ρ^2=cos2θ，由cos2θ≥0，第一象限部分的θ的范围是[0，π/4]选项无一正确，定积分应该是2cos2θ在[0，π/4]上的积分3、如果是其他图形，先把直角坐标方程化为极坐标方程，解出ρ＝ρ(θ)，由ρ(θ)≥0，得θ的取值范围。同时还要考虑图形的对称性

Answer 2

问：在遇到较为复杂的极坐标（或自己不熟悉的）怎么应付？ 所有的问题都可以根据以下几个步骤来搞定。1）判断题干中给的是f(r θ）型（极坐标），还是f(x y）型（直角坐标）2）如果是f(x y）型，转化为f(r θ）型，转化方法是x=rcosθ,y=rsinθ3) 确定θ和r的变化范围，θ1<=θ<=θ2, r(θ1)<=r<=r(θ2)此时θ取特殊值θ=0,π/4,π/2,π等值有利于判断r随θ变化的趋势4）画草图5）图形对称性判断（对x轴对称，或对y轴对称）6）根据对称性，最好化简积分区域7）积分得出结果[]

Answer 3

以后遇到不清楚的极坐标首先x=rcos& y=rsin&再带入到原方程中 以你的题为例 带入后为r^2=cos2& 然后按照角度分析 比如 当&为0时 r=1 则曲线和x轴交点为(1,0) 当&=45度时r=0 又回到原点 故在(1.0)和原点用平滑曲线连起来 通过看函数得知&不可以取(π/4 3π/4)之间的值 在3π/4 到π之间的画法如同前面的画法 故最后课得到 双纽线 为一个躺下的8 最后就可以取第一象限的部分求面积 再乘以4 我的结果是A

Answer 4

首先很感谢ls你的回答！ 你说的情况，我也想到了。但，有些情况，比如：星形线 直接用x=r cosθ y=r sinθ 就不是很好了！[]

Answer 5

试问LZ答案有无选项有无抄错 把$换成 sen ta 把课本上的那些常用图形记住一般够用了，实在遇着了就用x=rcos$ y=rsin$ 带到原函数关系式里，就可以求出r的范围，至于$的范围怎么求，我也不知道。