Question

你能求出（x-1）（x^99+x^98+x^97+……x²+x+1）吗？

①（x-1）（x+1）=x²-1
②（x-1）（x²+x+1）=x³-1
③（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1……
由此我们可知（x-1）（x^99+x^98+x^97+……x²+x+1）=x^100-1；请你利用上面的结论，完成计算：
⑴2^99+2^98+2^97+……2²+2+1；⑵（-2）^99+（-2）^98+（-2）^97+……（-2）²+（-2）+1；

Answer 1

(x-1)(x^99+x^98+x^97+...+x²+x+1)=x^100 -1

证明如下：
n=1时，(x-1)(x+1)=x²-1
假设当n=k (k∈N*)时，(x-1)[x^k+x^(k-1)+...+x+1]=x^(k+1)-1
则当n=k+1时，
(x-1)[x^(k+1)+x^k+x^(k-1)+...+x+1]
=(x-1)[x^k+x^(k-1)+...+x+1]+(x-1)·x^(k+1)
=x^(k+1)-1+x^(k+1+1)-x^(k+1)
=x^[(k+1)+1]-1
等式同样成立。
k为任意正整数，因此，对于任意正整数n，都有：
(x-1)[x^n+x^(n-1)+...+x+1]=x^(n+1)-1

对于本题，n=99。
不仅如此，得到上述推导结果以后，可以求n为任意正整数时的解。

Answer 2

2^99+2^98+2^97+……2^2+2+1
=(2^100-1)/(2-1)
=2^100-1

（-2）^99+（-2）^98+（-2）^97+……（-2）^2+（-2）+1
=[(-2)^100-1]/(-2-1)
=[(-2)^100-1)]/(-3)
=[-(-2)^100+1]/3
=(-2^100+1)/3