Question

已知函数f(x)=x2+a/x(x不为0，常数a属于R)讨论函数f(x)的奇偶性

Answer 1

1.解:
f(x)-f(x-1)
=(x²+2/x)-[(x-1)²+2/(x-1)]
=x²-(x-1)²+2/x-2/(x-1)
=2x-1-2/(x²-x)
∴f(x)-f(x-1)＞2x-1,即等价于2x-1-2/(x²-x)＞2x-1
∴2/(x²-x)＜0,即x²-x＜0,即x(x-1)＜0
∴0＜x＜1
2.解:
f(-x)=(-x)²+a/(-x)=x²-a/x
如果一个函数是偶函数,则f(-x)-f(x)=0
如果一个函数是奇函数,则f(-x)+f(x)=0
∵f(-x)-f(x)=(x²-a/x)-(x²+a/x)=-2a/x,
f(-x)+f(x)=(x²-a/x)+(x²+a/x)=2x²
∴当a=0时,f(-x)-f(x)=0,即f(x)是偶函数.
当a=任何值时,f(-x)+f(x)都≠0,所以f(x)不是奇函数.
∴当a=0时,f(x)是偶函数,当a≠0时,f(x)是非奇非偶函数.

Answer 2

1.解:
f(x)-f(x-1)
=(x�0�5+2/x)-[(x-1)�0�5+2/(x-1)]
=x�0�5-(x-1)�0�5+2/x-2/(x-1)
=2x-1-2/(x�0�5-x)
∴f(x)-f(x-1)＞2x-1,即等价于2x-1-2/(x�0�5-x)＞2x-1
∴2/(x�0�5-x)＜0,即x�0�5-x＜0,即x(x-1)＜0
∴0＜x＜1

2.解:
f(-x)=(-x)�0�5+a/(-x)=x�0�5-a/x
如果一个函数是偶函数,则f(-x)-f(x)=0
如果一个函数是奇函数,则f(-x)+f(x)=0
∵f(-x)-f(x)=(x�0�5-a/x)-(x�0�5+a/x)=-2a/x,
f(-x)+f(x)=(x�0�5-a/x)+(x�0�5+a/x)=2x�0�5
∴当a=0时,f(-x)-f(x)=0,即f(x)是偶函数.
当a=任何值时,f(-x)+f(x)都≠0,所以f(x)不是奇函数.
∴当a=0时,f(x)是偶函数,当a≠0时,f(x)是非奇非偶函数.

Answer 3

a=0 偶函数a≠0 非奇非偶