Question

高数！向量题目求解

Answer 1

解法一：求直线的点法式方程。
设直线l的方向向量是s=(m,n,p)。
直线L1的参数方程是x=x，y=3x+5，z=2x-3，所以直线L1过点M1(0,5,-3)，方向向量s1=(1,3,2)。
直线L2的参数方程是x=x，y=4x-7，z=5x+10，所以直线L2过点M2(0,-7,10)，方向向量s2=(1,4,5)。
由题意，向量s，M0M1，s1共面，混合积为0，即
|m n p|
|3 0 6|
|1 3 2|
＝0，解得4m+n-2p=0。
向量s，M0M2，s2共面，混合积为0，即
|m n p|
|3 -12 19|
|1 4 5|
＝0，解得34m-n-6p=0。
由4m+n-2p=0与34m-n-6p=0得m:n:p=4:22:19。
所以可取s=(4,22,19)。
直线l的方程是(x+3)/4=(y-5)/22=(z+9)/19。

解法二：求直线的一般方程。
由题意，直线l是两个平面的交线，一个是过点M0与直线L1的平面，另一个是过点M0与直线L2的平面。
过点M0与直线L1的平面方程设为λ1(2x-z-3)+μ1(3x-y+5)=0，代入点M0的坐标，得μ1=0，所以平面方程是2x-z-3=0。

过点M0与直线L2的平面方程设为λ2(4x-y-7)+μ2(5x-z+10)=0，代入点M0的坐标，得μ2=6λ2，取λ2=1，μ2=6，所以平面方程是(4x-y-7)+6(5x-z+10)=0，即34x-y-6z+53=0。
所以直线l的一般方程是
{2x-z-3=0
{34x-y-6z+53=0