Question

设函数f(x)在点x=0的某个邻域连续，

且，证明：f(x)在x=0处取到极小值

Answer 1

证明：
①因为该极限=1>0，根据极限的保号性，则在0的附近，有f（x）/（1-e^(-xx)）>0，
又其中分母（1-e^(-xx)）=1-（1/e^xx）>0，所以，分子f（x）>0★
②因为该极限=1是定值存在，而其中分母（1-e^(-xx)）趋于0，所以分子f（x）也是趋于0的，即，Limf（x）=0，
③又根据条件“函数f(x)在点x=0的某个邻域连续”，则Limf（x）=f（0），
由②③可知f（0）=0★★
由★与★★得到，在0的附近，有f（x）>f（0），即f(0)是极小值。证毕。