Question

已知函数f(x)=lnx-a(x-1)/x+b

已知函数f(x)=lnx-a(x-1)/(x+b).当b=1时，若函数f(x)在零到正无穷上单调递增，求a的取值范围。

Answer 1

x>0

f'(x)
=(1/x)-a[(x+b)-(x-1)]/(x+b)^2
=[(x+b)^2-ax(b+1)]/x(x+b)^2
=[x^2+(2b-ab-a)x+b^2)]/x(x+b)^2
要使x在(0,+∞)上单调增
则f(x)≥0
(x>0)

令g(x)=x^2+(2b-ab-a)x+b^2=x^2+2(1-a)x+1
对称轴：x0=a-1
f(0)=1

x0<0时，
即a<1
对任意x>0恒有g(x)>0

x0≥0时,
即a≥1

Δ≤0
则a(a-4)≤0
0≤a≤4
则1≤a≤4

综上，a≤4

Answer 2

当b=1时，f(x)=lnx-a(x-1)/(x+1)

f‘(x)=1/x-2a/(x+1)²，因为函数f(x)在零到正无穷上单调递增

所以f‘(x)=1/x-2a/(x+1)²＞0在零到正无穷上恒成立

将此式子化简得：(x+1)²/x=x+1/x+2＞2a
故2a小于x+1/x+2的最小值
由基本不等式x+1/x+2≥4＞2a，所以a＜2