Question

高中数学，第2，3问。

Answer 1

(2)
△²an-△a（n+1）+an=-2²ⁿ
△a（n+1）-△an-△a（n+1）+an=-2²ⁿ
△an-an=2²ⁿ
a（n+1）-2an=2²ⁿ
a（n+1）/2ⁿ⁺¹-an/2ⁿ=2ⁿ⁻¹
an/2ⁿ-a（n-1）/2ⁿ⁻¹=2ⁿ⁻²
.......................................
a2/2²-a1/2=1
a1/2=-13/2
累加得an/2ⁿ=2ⁿ⁻¹-15/2.
故an=2²ⁿ⁻¹-15×2ⁿ⁻¹=2ⁿ⁻¹（2ⁿ-15）
综上，数列{a（n+1）/2ⁿ⁺¹-an/2ⁿ}的通项公式为2ⁿ⁻¹，数列{an}的通项公式为2ⁿ⁻¹（2ⁿ-15）。

（3）
令x=2ⁿ⁻¹，则an=x（2x-15）=2x²-15x=2（x-15/4）²-225/8，x=1,2,4,8.....
由二次函数性质得：x=4时，即n=3时，an有最小值-28.
综上，数列{an}存在最小值，且n=3时an取最小值-28.