Question

数学题 求大神 详细点

Answer 1

前面：an-bn=ln(1+1/n)-1/n+1/n^2

=1/n-1/(2n^2)+1/(3n^3)-1/(4n^4)+……-1/n+1/n^2

=1/(2n^2)+[1/(3n^3)-1/(4n^4)]+……

从第二项开始，是较粗级数，以莱布尼茨判别法知级数收敛域s,0<s<1/(3n^3)

∴an-bn>0   即an>bn  得证。

变式1：

Sn=(1-1)+(1/2-1/4)+……+(1/n-1/n^2)

=1/2^2+2/3^2+……+(n-1)/n^2

引进函数f(x)=(x-1)/x^2,从上图看出：

2/3^2+3/4^2+……+(n-1)/n^2<∫[2,n](x-1)/x^2dx=1/n+lnn-1/2-ln2

Sn<1/2^2+1/n+lnn-1/2-ln2=lnn+1/n-1/4-ln2<lnne^(1/n)≈lnn(1+1/n)=ln(n+1)

Answer 2

宛丘山人 对第一个题的解答是完全正确的，用的是大学的数学知识。不知道提问者是不是高中生，如果看不懂这种方法，我这有个高中的方法，如果需要，请追问，我给你解答过程。