设方阵A满足A^2-A-2E=0,证明:A及A+2E都可逆,并求A的逆矩阵及(A+2E)的逆矩阵 ,怎么求???

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轮看殊O
高粉答主

2019-05-07 · 说的都是干货,快来关注
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A^2-A-2E=0推出A^2-A=2E,所以A(A-E)=2E,从而A的逆矩阵为1/2(A-E).

A^2-A-2E=0推出A^2-A-6E=-4E,所以(A+2E)(A-3E)=-4E,从而A+2E的逆矩阵为-1/4(A-3E).

可以如图改写已知的等式凑出逆矩阵。

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性质定理

1.可逆矩阵一定是方阵。

2.如果矩阵A是可逆的,其逆矩阵是唯一的。

3.A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作(A-1)-1=A。

4.可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T (转置的逆等于逆的转置)

5.若矩阵A可逆,则矩阵A满足消去律。即AB=O(或BA=O),则B=O,AB=AC(或BA=CA),则B=C。

6.两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

7.矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵

hxzhu66
高粉答主

推荐于2018-01-14 · 醉心答题,欢迎关注
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你好!可以如图改写已知的等式凑出逆矩阵。经济数学团队帮你解答,请及时采纳。谢谢!

追问
A+2E的逆矩阵,还有一种求解方法吧!你会求吗
追答
不知道,我只想到上面的做法。
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茹翊神谕者

2021-04-09 · TA获得超过2.5万个赞
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简单计算一下即可,答案如图所示

母题

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幽谷之草
2017-07-14 · TA获得超过4096个赞
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A^2-A-2E=0推出A^2-A=2E,所以A(A-E)=2E,从而A的逆矩阵为1/2(A-E).

A^2-A-2E=0推出A^2-A-6E=-4E,所以(A+2E)(A-3E)=-4E,从而A+2E的逆矩阵为-1/4(A-3E).
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清暝没山去
2020-08-23 · TA获得超过233个赞
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又是这种万年不变的考题。
①由A^2-A-2E=0进行因式分解
A(A-1)=2E,因此
A逆矩阵为1/2(A-1)
A-1逆矩阵为1/2A
②求A+2E的逆矩阵,关键在于
如何把A^2-A-2E=0写成
(A+2E)(kA+bE)=E的形式
A^2-A-6E=-4E可以将6拆成2和-3,
得出k=-1/4,b=3/4

③关键在于因式分解,说的好听点,就是十字相乘法。
如AB=A+B,可写成
(A-E)(B-E)=E
如AB=A+2B,可写成
(A-2E)(B-E)=2E
如AB=A+3B,可写成
(A-3E)(B-E)=3E
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