设方阵A满足A^2-A-2E=0,证明:A及A+2E都可逆,并求A的逆矩阵及(A+2E)的逆矩阵 ,怎么求???
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A^2-A-2E=0推出A^2-A=2E,所以A(A-E)=2E,从腊扮而A的逆矩阵为1/2(A-E).
A^2-A-2E=0推出A^2-A-6E=-4E,所以(A+2E)(A-3E)=-4E,从而A+2E的逆矩阵为-1/4(A-3E).
可以如图改写已知的等式凑出逆矩阵。
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性质定理
1.可逆矩阵一定是方阵。
2.如果矩阵A是可逆的,其逆矩阵是唯一的。
3.A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作(A-1)-1=A。
4.可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T (转置的逆等于逆的转置)
5.若矩阵A可逆,则矩阵A满足消去律。即AB=O(或BA=O),则B=O,AB=AC(或BA=CA),则B=C。
6.两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
7.矩阵可逆当且仅当它亮局态是满秩矩阵。
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A^2-A-2E=0推出A^2-A=2E,所以A(A-E)=2E,从而A的逆矩阵为1/2(A-E).
A^2-A-2E=0推出A^2-A-6E=-4E,所或谈以派仿(A+2E)(A-3E)=-4E,从而A+2E的逆矩阵尘团纤为-1/4(A-3E).
A^2-A-2E=0推出A^2-A-6E=-4E,所或谈以派仿(A+2E)(A-3E)=-4E,从而A+2E的逆矩阵尘团纤为-1/4(A-3E).
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又是这种万年不变的考题。
①由A^2-A-2E=0进行因式分解
A(A-1)=2E,因此
A逆矩阵为1/2(A-1)
A-1逆矩阵为1/2A
②求A+2E的逆矩阵,关键在于
如何把A^2-A-2E=0写成迟漏改
(A+2E)(kA+bE)=E的形式搜戚
A^2-A-6E=-4E可以将6拆成2和-3,
得出k=-1/4,b=3/4
③关键在于因式分解码判,说的好听点,就是十字相乘法。
如AB=A+B,可写成
(A-E)(B-E)=E
如AB=A+2B,可写成
(A-2E)(B-E)=2E
如AB=A+3B,可写成
(A-3E)(B-E)=3E
①由A^2-A-2E=0进行因式分解
A(A-1)=2E,因此
A逆矩阵为1/2(A-1)
A-1逆矩阵为1/2A
②求A+2E的逆矩阵,关键在于
如何把A^2-A-2E=0写成迟漏改
(A+2E)(kA+bE)=E的形式搜戚
A^2-A-6E=-4E可以将6拆成2和-3,
得出k=-1/4,b=3/4
③关键在于因式分解码判,说的好听点,就是十字相乘法。
如AB=A+B,可写成
(A-E)(B-E)=E
如AB=A+2B,可写成
(A-2E)(B-E)=2E
如AB=A+3B,可写成
(A-3E)(B-E)=3E
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