Question

问一道高中数学题，要过程的，谢谢大神~

Answer 1

（1）抛物线焦点F(p/2，0)，准线方程为x=-p/2。设过F的直线方程为y=k(x-p/2)。
代入抛物线方程得k²x²-p(k²+2)x+k²p²/4=0。设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)。则由抛物线的定义得：
FP=x₁+p/2，FQ=x₂+p/2。
所以1/FP+1/FQ=(x₁+x₂+p)/(x₁+p/2)(x₂+p/2)=(x₁+x₂+p)/[x₁x₂+p(x₁+x₂)/2+p²/4]。
其中x₁+x₂=p(k²+2)/k²，x₁x₂=p²/4。所以1/FP+1/FQ=p[(k²+2)/k²+1]/(p²/2)[(k²+2)/k²+1]=2/p。
所以1/FP+1/FQ为定值。
（2）设M(m，0)，直线PQ方程为y=k(x-m)。代入抛物线方程得：k²x²-(2mk²+2p)x+k²m²=0
设x₁，x₂为其两个解。则MP²=(1+k²)(x₁-m)²，MQ²=(1+k²)(x₂-m)²。
所以1/MP²+1/MQ²=[(x₁-m)²+(x₂-m)²]/(1+k²)(x₁-m)²(x₂-m)²。
其中x₁+x₂=(2mk²+2p)/k²，x₁x₂=m²。代入化解得：
1/MP²+1/MQ²=(mk²+p)/m²(1+k²)=(mk²+p)/(m²k²+m²)。要使其为定值，则有m/m²=p/m²。
即m=p。所以这样的点存在，点M(p，0)。
（3）设N(n，0)，P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)。向量PM=(p-x₁，-y₁)，向量MQ=(x₂-p，y₂)。
因为PM=λMQ。则p-x₁=λ(x₂-p)①，-y₁=λy₂。又y₁²=2px₁，y₂²=2px₂。所以y₁²/y₂²=x₁/x₂=λ²②。
由①②得x₁=λp，x₂=p/λ。又向量NM=(p-n，0)，向量NP=(x₁-n，y₁)，向量NQ=(x₂-n，y₂)。
NP-λNQ=(x₁-n-λ(x₂-n)，y₁-λy₂)。因为向量NM⊥向量(NP-λNQ)。
所以(p-n)[x₁-n-λ(x₂-n)]+0·(y₁-λy₂)=0，即(p-n)[x₁-n-λ(x₂-n)]=0。因为N在x负半轴。所以n≠p，即
(p-n)≠0。所以[x₁-n-λ(x₂-n)]=0。将x₁=λp，x₂=p/λ代入得：[λp-n-λ(p/λ-n)]=0。解得n=-p。
即N坐标为(-p，0)。

Answer 2