Question

已知线段AB的长为3，动点P满足|PA|=2|PB|。

（1）建立适当的坐标系，求点P的轨迹C的方程；

（2）若过点A的直线与曲线C交于M、N两点，求△BMN的面积最大值。

Answer 1

(1) 取A为原点，B在+x轴上, A(0, 0), B(3, 0)
P(x, y)
√[(x - 0)² + (y - 0)²] = 2√[(x - 3)² + (y - 0)²]
平方并整理得: (x - 4)² + y² = 4
r = 2, 圆心D(4, 0)

(2)
设直线的斜率为k (圆关于x轴对称，不妨设k > 0)
直线方程y = kx, kx - y = 0
B与直线的距离为h = |3k|/√(k² + 1) = 3k/√(k² + 1)
D与直线的距离为d = |4k|/√(k² + 1) = 4k/√(k² + 1)
MN = 2√(r² - d²) = 2√[4 - 16k²/(k² + 1)] = 4√[(1 - 3k²)/(1 + k²)]
S = (1/2)MN*h
= (1/2)*[3k/√(k² + 1)]*4√[(1 - 3k²)/(1 + k²)]
= 6k[√(1 - 3k²)]/(1 + k²)
对k求导得: S' = 6(1 - 7k²)/[√(k² + 1)³] = 0
k = 1/√7
S = 6*(1/√7)[√(1 - 3/7)]/(1 + 1/7) = (12/7)/(8/7)
= 3/2