Question

设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右顶点分别为A,B点P在椭圆上且异于A,B两点,O为坐标原点，

若|AP|=|PA|,证明直线OP的斜率|k|>√3

Answer 1

应该是|AP|=|OA|吧.
证明： 设椭圆方程为x=acost，y=bsint；左顶点A的坐标为(-a，0)；P点的坐标为(acost，bsint)；
OP的斜率K=(bsint)/(acost)=(b/a)tant
|AP|=√[(acost+a)²+(bsint)²]=|OA|=a
故得a²cos²t+2a²cost+a²+b²sin²t=a²
即有a²cos²t+2a²cost+b²sin²t=0
用a²cos²t除上式的两边得1+(2/cost)+(a²/b²)tan²t=0
故∣k∣=(a/b)∣tant∣=√[1+2/∣cost∣]，由于0<∣cost∣<1，故∣k∣>√3.

Answer 2

解：OA = a
OA² = AP² = a² = (p + a)² + (q - 0)² = p² + 2ap + a² + q² = p² + 2ap + a² + (a² - p²)/2
p² + 4ap + a² = 0
p = (-4a ± √(16a² - 4a²)]/2 = (-2 ± √3)a
的横坐标应在(-a, 0)上，舍去p = (-2 - √3)a
p = (-2 + √3)a
p² = (7 - 4√3)a²
q² = (a² - p²)/2 = (2√3 - 3)a²
|K|² = |q²/p²| = (2√3 - 3)/(7 - 4√3)
= (2√3 - 3)(7 + 4√3)/[(7 - 4√3)(7 + 4√3)]
= 3 + 2√3 > 3
|K| > √3

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