Question

是否适用于柱坐标的三重积分都适用于先二后一

有的三重积分的题。积分区域有的题是用等式连接有的题是用不等式连接，用柱坐标和先二后一分别做出来结果却不一样。不知道我是做的不对，还是有些积分区域比如等号连接的先二后一不适用。

Answer 1

用不用不等式也可以，只是题目表达方式不同，这个多元化的问法才好。
求三重积分... 其中Ω：x² + y² ≤ 1，0 ≤ z ≤ 1
求三重积分... 其中Ω是由x² + y² = 1及z = 0，z = 1所围成的闭区域
先一后二 和 先二后一 都是柱坐标的方法，最后结果都相同，只是z的积分次序不同
先一后二(投影法)：最先积分z，z的取值范围是关于r的函数
∫∫∫Ω f(x，y，z) dV = ∫(α→β) dθ ∫(a→b) r dr ∫(r₁→r₂) f(rcosθ，rsinθ，z) dz
先二后一(切片法)：最后积分z，r的取值范围是关于z的函数
∫∫∫Ω f(x，y，z) dV = ∫(a→b) dz ∫(α→β) dθ ∫(z₁→z₂) f(rcosθ，rsinθ，z) r dr
特别地，当被积函数只是关于z的函数时，有∫(a→b) f(z) dz ∫∫Dz dxdy = ∫(a→b) f(z) * Dz面积 dz
Dz是平行于xy面的横截面面积，这方法常用。