哥哥姐姐麻烦看一道数学题
Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=2,○C的半径是1,MN是○C的直径,求向量AM·向量BN的最大值及此时向量MN与向量AB的关系...
Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=2,○C的半径是1,MN是○C的直径,求向量AM·向量BN的最大值及此时向量MN与向量AB的关系
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解：AM=AC+CM，BN=BC+CN，故：AM·BN=(AC+CM)·(BC+CN)=AC·BC+CM·CN+AC·CN+CM·BC
因为△ABC是直角三角形，且∠C=π/2，故：AC·BC=0，又线段MN是直径，故：
CM=-CN，且：CM·CN=|CM|*|CN|*cos(π)=-1，故：AM·BN=-1+AC·CN-CN·BC=-1+CN·(AC-BC)
又：CA-CB=BA，故：AC-BC=AB，故上式=-1+CN·AB=-1+|CN|*|AB|*cos<CN,AB>
=-1+2sqrt(2)cos<CN,AB>，当：cos<CN,AB>=1，即：CN与AB同向时，上式取得最大值：
2sqrt(2)-1，此时线段MN与边AB平行。
因为△ABC是直角三角形，且∠C=π/2，故：AC·BC=0，又线段MN是直径，故：
CM=-CN，且：CM·CN=|CM|*|CN|*cos(π)=-1，故：AM·BN=-1+AC·CN-CN·BC=-1+CN·(AC-BC)
又：CA-CB=BA，故：AC-BC=AB，故上式=-1+CN·AB=-1+|CN|*|AB|*cos<CN,AB>
=-1+2sqrt(2)cos<CN,AB>，当：cos<CN,AB>=1，即：CN与AB同向时，上式取得最大值：
2sqrt(2)-1，此时线段MN与边AB平行。
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