Question

如图 ab是圆o的直径,点C是BA延长线上一点,CD切圆O于D点,弦DE平行CB，Q是AB上一动点，CA=1，CD是圆O半径的

根号3倍。1 求圆O的半径，
2 当点Q从A向B运动的过程中，阴影部分是否发生变化？若发生变话，说明理由；若不发生变化，请求面积
不用切割线定理

Answer 1

解：设CD=根号3r
则连接DB
因为∠CDA=∠CBD（弦切角）
所以△CDA相似△CDB
所以CD2=CA*CB
所以3r2=1*（1+2r）
解得r=1，CD=根号3

不发生
因为DE平行AB
所以Q到DE的距离不变
又因为DE不变
所以S△DEQ不变
又因为弓形DE不变
所以S阴影不变

追问

∠CDA=∠CBD why

追答

在同圆或等圆中
弦切角等于夹弧所对的圆周角

连接OD
又CD＝√3，OD=1
∴∠COD＝60°
∵DE‖CB，
∴∠ODE＝60°
∴△ODE是等边三角形
∴S阴影＝π/6

Answer 2

当Q从A向B运动的过程中，图中阴影部分的面积不发生变化
连结0D、OE．
∵DE‖CB，∴S△QDE＝S△ODE（同底等高）
∴S阴影=S扇形ODE
设圆的半径为r，由切割线定理，
CD²＝CA•CB＝CA•(CA＋AB)
即(√3r)²＝1×(1＋2r)，
解得r＝1
又CD＝√3r，
∴∠COD＝60°
∵DE‖CB，
∴∠ODE＝60°
∴△ODE是等边三角形
∴S阴影＝π/6