Question

指数函数和对数函数以及幂函数

定义、取值范围、判断大小的方法和思路，以及换底公式的几种变换公式、运算中应该注意哪些问题说出一种的给10分两种的给20分3种的给30分全说出的给50分

Answer 1

1、理解有理指数幂的含义；了解实数指数幂的意义；掌握幂的运算；理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的图象、单调性与特殊点。2、理解对数的概念及其运算性质；了解对数换底公式，能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数函数的概念；理解对数函数的图象、单调性与特殊点。3、了解幂函数的概念；结合函数y=x，y=x2，y=x3，了解幂函数的图象变化情况。4、能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。. 根式的运算性质：①当n为任意正整数时，（）n=a②当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=。③根式的基本性质：，（a0）。2. 分数指数幂的运算性质： 3. 的图象和性质： a>10<a<1图象性质（1）定义域：R（2）值域：（0，+∞）（3）过点（0，1），即x=0时，y=1（4）在 R上是增函数（4）在R上是减函数（5）当x>0时，y>1，当x<0时，0<y<1，（5）当x>0时，0<y<1当x<0时，y>1（6）x轴为渐近线4. 指数式与对数式的互化：。5. 重要公式：，。对数恒等式。6. 对数的运算法则如果，有7. 对数换底公式： （ a > 0 ，a �0�1 1 ，m > 0 ，m �0�1 1，N>0）。8. 两个常用的推论：①，。②（ a，b > 0且均不为1）。9. 对数函数的性质： a>10<a<1图象性质（1）定义域：（0，+∞）（2）值域：R（3）过点（1，0），即当时，（4）时 时 （4）时 时（5）在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数（6）y轴为渐近线 10同底的指数函数与对数函数互为反函数11指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（1）af（x）=b�0�4f（x）=logab，logaf（x）=b�0�4f（x）=ab; （定义法）（2）af（x）=ag（x）�0�4f（x）=g（x），logaf（x）=logag（x）�0�4f（x）=g（x）>0（转化法）（3）af（x）=bg（x）�0�4f（x）logma=g（x）logmb（取对数法）（4）logaf（x）=logbg（x）�0�4logaf（x）=logag（x）/logab（换底法）12. 指数不等式与对数不等式的类型：（1）af（x）＞b�0�4讨论a是否大于1（2）af（x）＞ag（x） ）�0�4讨论a是否大于1。（3）af（x）＞bg（x）�0�4f（x）logma＞g（x）logmb（取对数法m>1）（4）logaf（x）>logbg（x）�0�4logaf（x）>logag（x）/logab（换底法）13. y=xa（其中a为常数），当a＞0时图象过点（0，0）与（1，1）；在上是增函数当a＜0时，图象过点（1，1），在上是减函数。 【典型例题】例1 计算：（1）；（2）；（3）。解：（1）原式 （2）原式 （3）原式 例2 已知，求的值。解：∵，∴，∴，∴， ∴，∴， 又∵， ∴ 例3 已知，且，求的值。 解：由得：，即，∴；同理可得，∴由得 ，∴，∴，∵，∴ 例4 设，，且，求的最小值。解：令 ，∵，，∴ 由得，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，∵，∴当时， 例5 设、、为正数，且满足。 （1）求证： （2）若，，求、、的值。证明：（1）左边；解：（2）由得，∴……………①由得………… ……………②由①②得……………………………………③由①得，代入得，∵， ∴………………………………④由③、④解得，，从而 例6 （1）若，则，，从小到大依次为 ； （2）若，且，，都是正数，则，，从小到大依次为 ； （3）设，且（，），则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. （4）（全国2理4）以下四个数中的最大者是（A） （ln2）2 （B） ln（ln2） （C） ln （D） ln2（5）（山东理4） 设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有a值为（A） （B） （C） （D） 解：（1）由得，故 （2）令，则，，，， ∴，∴；同理可得：，∴，∴（3）取，知选（4）∵ ，∴ ln（ln2）<0，（ln2）2< ln2，而ln=ln2<ln2，∴ 最大的数是ln2，选D。（5）答案：A 分析：观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。 例7 已知函数f（x）＝，g（x）＝，（1）证明f（x）为奇函数，并求f（x）的单调区间。（2）分别计算f（4）－5f（2）g（2），f（9）－5f（3）g（3）的值，由此概括出涉及函数f（x）和g（x）的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明。解：（1）∵f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）关于原点对称。又f（－x）= =－f（x），∴f（x）为奇函数。设0<x1<x2，则f（x1）－f（x2）＝∵，，∴f（x）为（0，＋∞）增函数，又为奇函数，单调增区间为（－∞，0），（0，＋∞）（2）计算得f（4）－5f（2）g（2）＝0，f（9）－5f（3）g（3）＝0由此可以概括出对所有不为零的实数x都有f（x2）－5f（x）g（x）＝0证明如下：∵说明：问题的结论是开放的，要我们去探求，利用从特殊到一般的方法得到结论，当然还要证明所得的结论是否正确。这是我们探求新问题常用的方法之一。 例8 已知函数，求证：（1）函数在上为增函数；（2）方程没有负数根。证明：（1）设，则，∵，∴，，，∴；∵，且，∴，∴，∴，即，∴函数在上为增函数；另法：∵，∴∴函数在上为增函数；（2）假设是方程的负数根，且，则，即， ①当时，，∴，∴，而由知 ∴①式不成立；当时，，∴，∴，而∴①式不成立综上所述，方程没有负数根 例9　已知函数（且）求证：（1）函数的图象在轴的一侧； （2）函数图象上任意两点连线的斜率都大于。证明：（1）由得：，∴当时，，即函数的定义域为，此时函数的图象在轴的右侧；当时，，即函数的定义域为，此时函数的图象在轴的左侧∴函数的图象在轴的一侧；（2）设、是函数图象上任意两点，且，则直线的斜率，，当时，由（1）知，∴，∴，∴，∴，又，∴；当时，由（1）知，∴，∴，∴，∴，又，∴∴函数图象上任意两点连线的斜率都大于 【模拟试题】1. 已知集合，若，，则，则运算可能是（ 　 ）（A）加法 （B）减法 （C） 除法 （D）乘法 2. 已知集合，，则满足条件的映射的个数是 （ 　 ）（A）2 （B）4 （C）5 （D）73. 某天清晨，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了。下面大致上能反映出小鹏这一天（0时—24时）体温的变化情况的图是 （ ）4. 定义两种运算：，，则函数为（ ）（A）奇函数 （B）偶函数 （C）奇函数且为偶函数 （D）非奇函数且非偶函数5. 偶函数在上单调递增，则与的大小关系是 （ ） （A） （B） （C） 　　　　　　（D）6. 如图，指出函数①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=dx的图象，则a，b，c，d的大小关系是A. a<b<1<c<d　　　　 B. b<a<1<d<cC. 1<a<b<c<d　　　　 D. a<b<1<d<c7. 若logx3>logy3>0，则下列不等式恒成立的是 （　　　）A. <y–1/3 B. <3x–y C. <31–y 　 D. >31–y 8. 已知函数f（x）=lg（ax–bx）（a，b为常数，a>1>b>0），若x�0�2 （1，+∞）时，f（x）>0恒成立，则（　　）A. a–b�0�61 B. a–b>1 C. a–b�0�51 D. a=b+19. 如图是对数函数y=logax的图象，已知a取值，4/3，3/5，1/10，则相应于①，②，③，④的a值依次是 10. 已知y=loga（2–ax）在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是 11. 已知函数，且正数C为常数对于任意的，存在一个，使，则称函数在D上的均值为C。试依据上述定义，写出一个均值为９的函数的例子：_____12. 设函数f（x）=lg，其中a�0�2R，如果当x�0�2（–∞，1）时，f（x）有意义，求a的取值范围。13. a为何值时，关于x的方程2lgx–lg（x–1）=lga无解？有一解？有两解？14. 绿缘商店每月向工厂按出厂价每瓶3元购进一种饮料。根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶。请你给该商店设计一个方案：每月的进货量当月销售完，销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？15. 已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：（1）对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；（2）f（1）=1（3）若，，，则有（Ⅰ）试求f（0）的值；（Ⅱ）试求函数f（x）的最大值；（Ⅲ）试证明：满足上述条件的函数f（x）对一切实数x，都有f（x）≤2x。16. 设、为常数，：把平面上任意一点（，）映射为函数 （1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数； （2）证明：当时，，这里t为常数； （3）对于属于M的一个固定值，得，在映射F的作用下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象？

Answer 2

注意取值范围,定义域还有题本生的隐含条件

Answer 3

知识点归纳