用初等变换法求下列矩阵的逆矩阵
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初等变换求,就是利用原矩阵旁边放一个单位矩阵,原矩阵怎么变,单位矩阵怎么变。当左边原矩阵变成单位矩阵时,右边就是原矩阵的逆矩阵。
初等变换的规则:先把左上角元素变成1,把第一列元素除去第一个都变成零,依次把主对角线下方元素变成零,就成功了。
初等变换
用初等变换求逆矩阵只要方法正确,加上有耐心,不需要技巧,程式化地一步一步做下去,就会得到结果。
在要求逆的n阶矩阵右边写一个n阶单位阵,然后对这个n×2n阶矩阵按下面程式进行行初等变换(不能作列初等变换):
将第一行第一列元素化为1,将第一列其余元素化为0;
将第二行第二列元素化为1,将第二列其余元素化为0;
…………
将第n行第n列元素化为1,将第n列其余元素化为0。
这时只要把右边的n阶方阵写下来,就是所要求的逆矩阵。
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2018-07-28 · 知道合伙人教育行家
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用初等行变化求矩阵的逆矩阵,
即用行变换把矩阵(A,E)化成(E,B)的形式,那么B就等于A的逆
在这里
(A,E)=
-1 1 1 1 1 0 0 0
-1 -1 1 1 0 1 0 0
-1 -1 -1 1 0 0 1 0
-1 -1 -1 -1 0 0 0 1 r1+r4, r2+r4, r4-r3
~
-2 0 0 0 1 0 0 1
-2 -2 0 0 0 1 0 1
-1 -1 -1 1 0 0 1 0
0 0 0 -2 0 0-1 1 r2-r1 ,r1/(-2) ,r2/(-2) ,r4/(-2)
~
1 0 0 0 -1/2 0 0 -1/2
0 1 0 0 1/2 -1/2 0 0
-1 -1 -1 1 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 1/2 -1/2 r3+r1,r3+r2,r3-r4 ,r3*(-1)
~
1 0 0 0 -1/2 0 0 -1/2
0 1 0 0 1/2 -1/2 0 0
0 0 1 0 0 1/2 -1/2 0
0 0 0 1 0 0 1/2 -1/2
这样就已经通过初等行变换把(A,E)~(E,A^-1)
于是得到了原矩阵的逆矩阵就是
-1/2 0 0 -1/2
1/2 -1/2 0 0
0 1/2 -1/2 0
0 0 1/2 -1/2
即用行变换把矩阵(A,E)化成(E,B)的形式,那么B就等于A的逆
在这里
(A,E)=
-1 1 1 1 1 0 0 0
-1 -1 1 1 0 1 0 0
-1 -1 -1 1 0 0 1 0
-1 -1 -1 -1 0 0 0 1 r1+r4, r2+r4, r4-r3
~
-2 0 0 0 1 0 0 1
-2 -2 0 0 0 1 0 1
-1 -1 -1 1 0 0 1 0
0 0 0 -2 0 0-1 1 r2-r1 ,r1/(-2) ,r2/(-2) ,r4/(-2)
~
1 0 0 0 -1/2 0 0 -1/2
0 1 0 0 1/2 -1/2 0 0
-1 -1 -1 1 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 1/2 -1/2 r3+r1,r3+r2,r3-r4 ,r3*(-1)
~
1 0 0 0 -1/2 0 0 -1/2
0 1 0 0 1/2 -1/2 0 0
0 0 1 0 0 1/2 -1/2 0
0 0 0 1 0 0 1/2 -1/2
这样就已经通过初等行变换把(A,E)~(E,A^-1)
于是得到了原矩阵的逆矩阵就是
-1/2 0 0 -1/2
1/2 -1/2 0 0
0 1/2 -1/2 0
0 0 1/2 -1/2
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