Question

21题。。

Answer 1

f(x)=e^x
反函数y=lnx
(1) y'=1/x
设切点为(x₁,lnx₁)
切线：y-lnx₁=1/x₁(x-x₁)→y=(1/x₁)x+lnx₁-1=kx
∴lnx₁-1=0→x₁=e
k=1/e
(2)g(x)=f(x)+mx²=e^x+mx²
g'(x)=e^x+2mx
令h(x)=e^x+2mx
h'(x)=e^x+2m
驻点：x₀=ln(-2m)
h''(x)=e^x>0
h(x₀)为极小值=-2m+2mln(-2m)
当m<-e/2时，h(x)=g'(x)>0,g(x)单调递增 g(x)有且只有一个零点
m≥-e/2时，驻点：e^x₀+2mx₀=0
g(x₀)=-2mx₀+mx₀²=m(x₀-1)²-m>0
g(x)有且只有一个零点
∴g(x)的零点个数=1.