Question

如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上任一点，且CE=CA。

（1）求证：DE平分∠BDC
（2）若点M在DC上，且DC=DM，求证：ME=BD

Answer 1

证明：
1、
∵AC＝BC，∠BAC＝90
∴∠BAC＝∠ABC＝45
∵∠CAD＝∠CBD＝15
∴∠DAB＝∠BAC-∠CAD＝30, ∠DBA＝∠ABC-∠CBD＝30
∴∠DAB＝∠DBA
∴AD＝BD
∵CD＝CD
∴△ACD≌△BCD （SSS）
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB/2＝45
∴∠CDE＝∠CAD+∠ACD＝60
∵∠BDE＝∠DAB+∠DBA＝60
∴∠CDE＝∠BDE
∴DE平分∠BDC
2、证明：连接CM
∵∠CDE＝60,DC＝DM
∴等边△CDM
∴∠CMD＝∠CDE＝60
∴∠ADC＝180-∠CDE＝120, ∠EMC＝180-∠CMD＝120
∴∠ADC＝∠EMC
∵CE＝CA
∴∠CAD＝∠E
∴△ACD≌△ECM （AAS）
∴ME＝AD
∴ME＝BD

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Answer 2

证：
∵△ABC为等腰直角三角形，∠CAD=∠CBD=15°
∴AC=BC,∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°
∴DA=DB,∠ADB=120°,又DC=DC
∴△ACD∽△BCD
∴∠ACD=∠BCD=45°
∴∠ADB=∠ADC=∠BDC=180°-15°-45°=120°
∴∠BDE=∠CDE=180°-120°=60°
∴DE平分∠BDC

连接CM,
∵DC=DM,∠CDM=60°
∴△CDM为等边三角形
∴∠ADC=∠EMC=120°
∵CE=CA
∴∠DAC=∠MEC
∴△ADC≡△EMC
∴ME=AD=BD

追问

真么快就做出来了，是对的吗！

追答

对的

追问

你什么手啊！

不好意思，老师说让用全等做

追答

哦
证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，
∴BD=AD．
在△BDC与△ADC中，
BD=AD
∠CBD=∠CAD
BC=AC
∴△BDC≌△ADC，
∴∠DCB=∠DCA，
又∵∠DCB+∠DCA=90°，
∴∠DCB=∠DCA=45°．
由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30°+30°=60°，
∠EDC=∠DAC+∠DCA=15°+45°=60°，
∴∠BDM=∠EDC，
∴DE平分∠BDC；

（2）连接MC．
∵DC=DM，且∠MDC=60°，
∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．
又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，
∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，
∴∠EMC=∠ADC．
又∵CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM．
在△ADC与△EMC中，
∠ADC=∠EMC
∠DAC=∠MEC
AC=EC
∴△ADC≌△EMC，
∴ME=AD=DB．

追问

你这个是摘的吧，我在提问之前看过了，没看懂啊

追答

这个呢
证明：（1）在等腰直角△ABC中，
∵∠CAD=∠CBD=15o，
∴∠BAD=∠ABD=45o-15o=30o，
∴BD=AD，
∴△BDC≌△ADC，
∴∠DCA=∠DCB=45o．
由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30o+30o=60o，
∠EDC=∠DAC+∠DCA=15o+45o=60o，
∴∠BDM=∠EDC，
∴DE平分∠BDC；

（2）如图，连接MC，
∵DC=DM，且∠MDC=60°，
∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．
又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，
∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，
∴∠EMC=∠ADC．
又∵CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM=15°，
∴△ADC≌△EMC，
∴ME=AD=DB．

追问

这个还是没懂啊，行了，就这种吧，你把这几部的原理告诉我一下吧，学习要学透啊，麻烦你了

追答

如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上任一点，且CE=CA。

（1）求证：DE平分∠BDC

（2）若点M在DC上，且DC=DM，求证：ME=BD

证：
∵△ABC为等腰直角三角形，∠CAD=∠CBD=15°
∴AC=BC,(等腰直角三角形两直角边相等)

∴△DAB为等腰三角形
∴DA=DB,,(等腰三角形两腰相等)
,又DC=DC AC=BC(已证)
∴△ACD 全等于 △BCD (边边边)
∴∠ACD=∠BCD=2分之∠ACB =90°÷ 2 = 45°

∵△ABC为等腰直角三角形
∴∠CAB=∠CBA=45° ,(等腰直角三角形两底角为45°)
∵∠CAD=∠CBD=15° (已知)
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°
∴∠ADB=180°- ∠BAD-∠ABD =120°
∴∠BDE=180°-∠ADB =180°-120°=60°
∠CDE=∠CAD+∠DCA =45°+15°=60° = ∠BDE
∴DE平分∠BDC

连接CM,
∵DC=DM,且∠CDM=60°
∴△CDM为等边三角形

∴∠ADC=∠EMC=180°-60°= 120°
又∵CE=CA
∴∠DAC=∠MEC

∴△ADC≡△EMC (角角边)
∴ME=AD=BD

追问

姐啊，没办法，楼下海语天风001答的真好，我一看就懂，不好意思啊