Question

一道初中数学几何综合题(相似)，求完整过程！谢谢！

9、(本题8分) 已知△ABC，AB边上有两点D、F，E在直线AC上，D、E、F三点满足：∠CDB=∠CDE，∠ADE=2∠ACF.
(1) 如图1，当E在边AC上时，求证：∠AEF=∠CED；
(2) 如图2，当E在AC的反向延长线，F在AB上且△ABC为等边三角形时，作BM⊥CF于M，交CD于点N，AH⊥CF交直线CF于点H，请探究线段MH与BN之间的数量关系，并证明.

Answer 1

做出来啦！！！

第一问：

在DB上取一点M，使得DM=DE

故∠DME=∠EDA/2=∠FCE

故E,F,M,C四点共圆

故∠AEF=∠DMC

又DE=DM,DC=DC,∠CDB=∠CDE,故⊿CDM≌⊿CDE,故∠DMC=∠DEC

故∠AEF=∠CED

第二问：

在ME上取一点T,使得∠TCE=∠TDA

(1)下面先证明A,H,T共线（即H为AT的中点）

∠TCE=∠TDA则有A,T,D,C四点共圆

故∠ATC=∠ADC=180°-∠BDC=180°-∠CDT=∠CAT

故CA=CT

又∠ACH=∠ACT/2=∠HCT

故H为AT的中点

(2)∠NBA=∠DAT=∠TCD=∠DCB=α

故⊿DNB∽⊿DBC

NB/BC=DB/DC=sinα/sin60°

而MH=FH+FM=AF*sinα+FB*sinα=BC*sinα

故MH=(√3/2)*NB

不懂欢迎追问！！！

追问

第二问是在DE上取一点T,使得∠TCE=∠TDA吗？
还有A,H,T共线是怎么证的？

追答

的确是在DE上取一点T,使得∠TCE=∠TDA

∠ACH=∠HCT，CH=CH,AT=CT故⊿AHC≌⊿THC
故∠CHT=∠CHA=90°，故A,H,T共线