高中数学14题 10
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(1)∵顶点A(2,0)
∴a=2，e=√2/2
∴c=b=√2
椭圆C：x²/4+y²/2=1
(2)直线：y=k（x-1）恒过点C（1，0）,｜AC｜=2-1=1
将x=y/k+1代入C
得：y²/k²+2y/k+1+2y²-4=0
(2+1/k²)y²+(2/k)y-3=0
y1+y2=-2k/（2k²+1）
y1y2=-3k²/(2k²+1)
｜y1-y2｜²=(y1+y2)²-4y1y2
=（16k²+24k⁴）/(2k²+1)²
｜y1-y2｜=2k√（4+6k²）/(2k²+1)
SΔAMN=(1/2)｜AC｜·｜y1-y2｜
=k√（4+6k²）/(2k²+1)=√10/3
则：3k√（4+6k²)=2√10k²+√10
9k²(4+6k²)=10(4k⁴+4k²+1)
7k⁴-2k²-5=0
(7k²+5)(k²-1)=0
k²=-5/7(舍去）
k²=1
得：k=±1
∴a=2，e=√2/2
∴c=b=√2
椭圆C：x²/4+y²/2=1
(2)直线：y=k（x-1）恒过点C（1，0）,｜AC｜=2-1=1
将x=y/k+1代入C
得：y²/k²+2y/k+1+2y²-4=0
(2+1/k²)y²+(2/k)y-3=0
y1+y2=-2k/（2k²+1）
y1y2=-3k²/(2k²+1)
｜y1-y2｜²=(y1+y2)²-4y1y2
=（16k²+24k⁴）/(2k²+1)²
｜y1-y2｜=2k√（4+6k²）/(2k²+1)
SΔAMN=(1/2)｜AC｜·｜y1-y2｜
=k√（4+6k²）/(2k²+1)=√10/3
则：3k√（4+6k²)=2√10k²+√10
9k²(4+6k²)=10(4k⁴+4k²+1)
7k⁴-2k²-5=0
(7k²+5)(k²-1)=0
k²=-5/7(舍去）
k²=1
得：k=±1
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