Question

已知：等腰三角形ABC中，AB=AC,P为底边BC上任一点,自点P向两腰作垂线PE,PF,E,F为垂足.

（1）P为底边BC上任一点,自点P向两腰作垂线PE,PF,E,F为垂足。求证PE＋PF为定值。
（2）若点P在底边BC延长线上时，情况如何？

Answer 1

1）过B点向腰AC作垂直线交于点G，过C点向AB线作高交于点D。

 

因为EP垂直于AB，PF垂直于AC，且三角形ABC为等腰三角形

 

由相似三角形定理可得EP：CD=BP：BC；PF：BG=CP：BC

 

所以EP+PF=（CD*BP+BG*CP)/BC=CD*BC/BC=CD，即等腰三角形的腰上的高，此为定值。

 

2）相同道理，PE-PF=BC，为定值。

Answer 2

1、BP*COS BPE=PE PC*COSCPF=PF PF+PE=BP*COS BPE+PC*COS CPF 因为三角形的内角和为180度 三角形BPE和CPF中一个角是直角 另一个是相同的（等腰），所以角BPE和CPF是一样的 所以BP*COS BPE+PC*COS CPF=(BP+PC)COS BPE 为定值 所以 pe+pf为定值
延长线也是同理 本体主要考察三角形内角和 等腰三角形两底角相等 问题

Answer 3

(1)证明：设PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别E,F。过点C作CM⊥AB，垂足为M
过点C作CG⊥EP，交EP点延长线于点G
∴CG‖AB ∴∠GCP=∠B∵AB=AC∴∠ACB=∠B∴∠GCP=∠ACB
又∵∠PGC=∠PFC PC=PC ∴△PCG≌PCF∴PG=PF
∵PE⊥AB CM⊥AB CG⊥EG ∴∠GEM=∠CGE=∠CME=90°∴四边形CMEG是矩形
∴EG=CM ∴PE+PF=PE+PG=EG=CM
∴PE+PF为定值。（CM为腰AC的高，为定值）