Question

关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m2

关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m2
(1)证明：方程总有两个不相等的实数根
（2）设这个方程的两个实数根为x1,x2且/x1/=/x2/-2,求m的值及方程的根
主要第二问，讲解的详细点

Answer 1

（1）找出一元二次方程中的a，b及c，表示出b2-4ac，根据完全平方式恒大于等于0，判断出b2-4ac大于0，即可得到原方程有两个不相等的实数根；
（2）利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，判断出两根之积小于0，得到两根异号，分两种情况考虑：若x1＞0，x2＜0，利用绝对值的代数意义化简已知的等式，将表示出的两根之和代入，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，进而确定出方程，求出方程的解即可；若x1＜0，x2＞0，同理求出m的值及方程的解．
解：（1）一元二次方程x2-（m-3）x-m2=0，
∵a=1，b=-（m-3），c=-m2，且（m-3）2≥0，4m2≥0，
∴b2-4ac=（m-3）2+4m2＞0，
则方程有两个不相等的实数根；

（2）∵x1•x2=
c
a
=-m2≤0，x1+x2=m-3，
∴x1，x2异号，
又|x1|=|x2|-2，即|x1|-|x2|=-2，
若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=-2，
∴m-3=-2，即m=1，
方程化为x2+2x-1=0，
解得：x1=-1+
2
，x2=-1-
2
，
若x1＜0，x2＞0，上式化简得：-（x1+x2）=-2，
∴x1+x2=m-3=2，即m=5，
方程化为x2-2x-25=0，
解得：x1=1-
26
，x2=1+
26
此题考查了一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．

Answer 2

（1）
证明：
∵Δ=(m-3)²-4*(-m²)=(m-3)²+4m²>0
∴方程总有两个不相等的实数根

（2）
两根之积x₁*x₂=-m²≤0

/x1/=/x2/-2

/x1/-/x2/=-2
平方得
x₁²+x₂²-2lx₁llx₂l=4
(x₁+x₂)²-2x₁*x₂-2lx₁llx₂l=4
(m-3)²-2(-m²)-2m²=4
m²-6m+9+2m²-2m²=4
m²-6m+5=0
(m-1)(m-5)=0
m=1 或 m=5
m=1时：
x²+2x-1=0

x²+2x+1-2=0
(x+1)²=2
x+1=±√2
x1=-1+√2 x2=-1-√2
m=5时：
x²-2x-25=0

x²-2x+1-26=0
(x-1)²=26
x-1=±√26
x1=1+√26 x2=1-√26

追问

x₁²+x₂²-2lx₁llx₂l=4 这步怎么来的？

追答

/x1/-/x2/=-2
两边平方得
(/x1/-/x2/)²=(-2)²
x₁²+x₂²-2lx₁llx₂l=4

Answer 3

关于x的一元二次方程x²-(m-3)x-m²=0
(1)证明：方程总有两个不相等的实数根
∵△=[-(m-3)]²-4×(-m²)=m²-6m+9+4m²=(m-3)²+4m²
不管m取什么值，(m-3)²+4m² 肯定大于零。
∴ 方程 x²-(m-3)x-m²=0 总有两个不相等的实数根。

（2）设这个方程的两个实数根为x1,x2且/x1/=/x2/-2,求m的值及方程的根
x1+x2=m-3 ①
x1*x2=-m² ②
│x1│=│x2│-2 ③
∵x1*x2=-m²
∴ x1,x2异号。
∴x1=-x2-2 ④
④带入①得：
-x2-2+x2=m-3
∴m=1
x1=-1+√2
x2=-1-√2