Question

求解题过程！

Answer 1

1、当a=0时，f(x)=x∈[0,1]，满足|f(x)| ≤1

2、当a>0时，开口向上，且f(x)≥0
所以只需f(x)≤1
ax²+x ≤ 1
a ≤ 1/x² - 1/x = (1/x - 1/2)² - 1/4
0<x≤1
1/x ≥ 1
(1/x - 1/2)² - 1/4 ≥ 0
要使a≤(1/x - 1/2)² - 1/4 恒成立
必须a≤0
与前提a>0矛盾

3、当a<0时，开口向下
对称轴 -1/(2a) >0
(1)当-1/2a ≥1 即 a≥ -1/2时
f(x)在[0,1]单调递增
f(x) ∈[0,a+1]
-1/2 ≤ a <0
满足 |f(x)| ≤ 1
(2)当1/2 < -1/(2a) <1 即 -1< a< - 1/2时
f(x) ∈[0,f(1/2) ] 即 [0,a/4+1/2]
a/4 + 1/2 ≤ 1 成立，满足|f(x)| ≤ 1
(3) 当 0< -1/(2a) ≤ 1/2 即 a≤ -1时
f(1) ≤ f(x) ≤ f(1/2)
即 a+1 ≤ f(x) ≤ a/4 + 1/2
则 a+1 ≥ -1 即 a≥ -2
∴ -2 ≤ a < 0

综上，a∈[ -2，0 ]