Question

十二题 求详细过程

Answer 1

证明：充分性：当A=90°时，a2=b2+c2．
于是x2+2ax+b2=0⇔x2+2ax+a2-c2=0⇔[x+（a+c）][x+（a-c）]=0，
该方程有两根x1=-（a+c），x2=-（a-c）．
同样，x2+2cx-b2=0⇔[x+（c+a）][x+（c-a）]=0，
该方程亦有两根x3=-（c+a），x4=-（c-a）．
显然x1=x3，两方程有公共根．
必要性：设方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0的公共根为m，
则m2+2am+b2＝0 (1)
m2+2cm−b2＝0 (2)
（1）+（2）得m=-（a+c）．（m=0舍去）．
将m=-（a+c）代入（1）式，得[-（a+c）]2+2a•[-（a+c）]+b2=0，
整理得a2=b2+c2．
所以A=90°．
故结论成立．