Question

已知定义在R上的函数f(x)=(a-2的x次方)/(2的x次方+1)是奇函数

（1）求实数a的值（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明（3）若对任意的t属于R，不等式f（t的平方-2t）+f（2（t的平方）-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围 （详细过程）

Answer 1

奇函数。
f（0）=0
把X等于0带入，求出a的值。
在第一题的基础上
取两个值，X1 ,X2
X1>X2>0
则f（X1）>f（x2）
化简，得出结果

f(t^2-2t)+f(2t^2-k)＜0
f(t^2-2t)＜-f(2t^2-k)
f(t^2-2t)＜f(k-2t^2)
t^2-2t＞k-2t^2
3t^2-2t-k＞0

抛弧线开口向上，不等式恒成立

∴△=4+12k＜0
∴k＜-1/3

PS: 纯手打

追问

就是在第二问化简的地方不太会 能不能详细点

追答

取x1，x2∈R，且x1＜x2

则f(x1)－f(x2)＝a－[2/(2^x1＋1)]－a＋[2/(2^x2＋1)]

＝[2(2^x1－2^x2)]/[(2^x1＋1)(2^x2＋1)]

∵y＝2^x在(－∞，＋∞)上递增，而x1＜x2

∴2^x1＜2^x2

∴(2^x1)－(2^x2)＜0

又(2^x1＋1)(2^x2＋1)＞0

∴f(x1)－f(x2)＜0

即f(x1)＜f(x2)

∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数