Question

已知f(x)=ax³+bx²+cx在区间[0,1]上是增函数，在区间（负无穷，0）（1，正无穷）

上是减函数，又f'(1/2)=3/2
(1)求f(x)的解析式
（2)若在区间[0,5]上恒有f(x)≤m+2成立，求m的取值范围

Answer 1

（1）f'(x)=3ax^2+2bx+c,
依题意f'(0)=c=0,
f'(1)=3a+2b=0,
f'(1/2)=3a/4+b=3/2,
解得a=-2,b=3.
∴f(x)=-2x^3+3x^2
(2)f(x)在区间[0,1]上是增函数,在(1,+∞）是减函数，
∴在区间[0,5]上，f(x)|max=f(1)=1,
∴f(x)<=m+2变为1<=m+2,
∴m>=-1,为所求.