Question

若在约束条件3x-y-6≤0,x-y+2≥0,x≥0,y≥0下,目标函数z=ax+by

设x，y满足约束条件3x-y-6≤0，x-y+2≥0，x≥0 y≥0.若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，给出下列四个判断；

1、ab≤3/2；2、2/a+3/b≥25/6；3、(a^2+b^2)min=4；4、1/4＜(b+1)/(a+1)＜3
第二个已经知道怎么判断了，就是剩下的三个不知道，求具体过程呀....

Answer 1

可行域是四边形OABC,其中O是原点，A是（2,0），B是(4,6),C是（0,2），
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，是在B处取得，
∴4a+6b=12,
1.6=2a+3b>=2√(2a*3b)=2√（6ab),
平方得36>=24ab,
∴0<ab<=3/2.
2.2/a+3/b=（2/a+3/b)(2a+3b)/6=(4+6a/b+6b/a+9)/6>=(13+12)/6=25/6.
3.原点到直线2x+3y-6=0的距离d=6/√13，
∴(a^2+b^2)|min=d^2=36/13.
原来的答案不对.
4.设k=(b+1)/(a+1),则b=k(a+1)-1,
代入2a+3b=6得2a+3k(a+1)-3=6,
∴k=(9-2a)/[3(a+1)]=3-11a/[3(a+1)]<3(a>0),
(9-2a)/[3(a+1)]>1/4,
<==>4(9-2a)>3(a+1),
<==>36-8a>3a+3,
<==>33>11a,
<==>a<3,
由2a+3b=6及b>0可得a<3.