Question

第二题怎么写？高数 收敛准则 极限

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Answer 1

解：
根据题设，显然：
xn > 0
而:
x(n+1) -xn
=(1+2xn)/(1+xn) - xn
=[1-(xn-1)²] / (1+xn)
显然，对于分母1+xn >0
对于分子：1-(xn-1)²
xn - 1 = x(n-1)/[1+x(n-1)]
显然，x(n-1) < 1+x(n-1)
因此：xn - 1 <1
即：分子1-(xn-1)²>0
所以：
x(n+1) -xn > 0
该数列是递增数列
又因为：
x(n+1) = 1+ [xn/(1+xn)]
＜ 1+ [(1+xn)(1+xn)] = 2
因此：
该数列是单调递增且有界数列，该数列极限一定存在
令lim xn = A ，则：
lim x(n+1) = A
于是，根据x(n+1) = 1+ [xn/(1+xn)]，易知：
A = 1+ A/(1+A)
解得：
A= (1+√5)/2 (负根舍去)