Question

被积函数连续，证明：∫（0，π）f(sinx）dx=2∫(0,π／2)f(sinx）dx

更准确过程 谢谢

Answer 1

解答：
换元法。
∫（0，π）f(sinx）dx
= ∫(0,π／2)f(sinx）dx+∫(π／2,π)f(sinx）dx
换元，将后式中的x换成π-t
= ∫(0,π／2)f(sinx）dx-∫(0,π/2,)f(sin(π-t)）d(π-t)
=∫(0,π／2)f(sinx）dx+∫(0,π/2)f(sin(t)）dt
=∫(0,π／2)f(sinx）dx+∫(0,π／2)f(sinx）dx
=2∫(0,π／2)f(sinx）dx
∴ ∫（0，π）f(sinx）dx=2∫(0,π／2)f(sinx）dx