Question

如图在△ABC中,∠ABC=3∠ACB,AD是角平分线，BP⊥AD，P是垂足，求证：BP=1/2（AC-AB)

如图在△ABC中,∠ABC=3∠ACB,AD是角平分线，BP⊥AD，P是垂足，求证：BP=1/2（AC-AB)

Answer 1

∵AD平分∠BAC

∴∠DAB=∠DAC

  BP=½BE

∵BE⊥AD交点P

∴∠DAE+∠AEP=∠DAB+∠ABE=90°

∴∠ABE=∠AEB

∴AB=AE

   AC-AB=AC-AE=EC

∵∠ABC=3∠C

   ∠ABE=∠AEB=∠C+∠EBC

∴∠ABE+∠EBC+∠C=2∠ABE=4∠C

   ∠ABE=2∠C

   ∠EBC=∠C

∴EB=EC

∴BP=½BE=½EC=½(AC-AE)=½(AC-AB)

Answer 2

手机打不出三个点的因为所以和角的符号，我就用“因为”“所以”“角”表示吧 解：作BP延长线，交AC于M 因为 AD是角BAC的角平分线 所以角BAP＝角MAP 又因为角MPA＝角BPA＝90*，AP＝AP 所以三角ABP全等于AMP 所以AC－AB＝AC－AM＝MC 因为角B＝3角C 所以角A＝180*－4角C，角BAP＝2角C。 又因为角APB＝90* 所以角ABP＝2角C 所以角PBD＝角C 所以三角MBC为等腰三角形 所以BM＝MC 因为三角形ABP全等于三角形AMP 所以BP＝1/2MC＝1/2（AC－AB） OK！