Question

一道数学题，求解

如图,在△ABC中,AB=AC,圆O是△ABC的外接圆，AE⊥AB交BC于点D，交圆O于点E，F在DA的延长线上，且AF=AD。（1）求证：BF是圆O的切线；（2）若AE=4，cos∠ABF=4、5，求BD的长。

Answer 1

解：（1）连接BE。
∵AE⊥AB
∴∠BAE=90°
∴BE是直径,∠E+∠ABE=90°
∵AF=AD AE⊥AB
∴BF=BD
∴∠ABF=∠ABD
∵AB=AC
∴∠ABD=∠C
∵∠C=∠E
∴∠ABF=∠E
∴∠ABF+∠ABE=90°
∴∠EBF=90°
∴BF是圆O的切线
(2)∵cos∠ABF=cosE=AE/BE=4/5 AE=4
∴BE=5
∴AB=√(BE²-AE²)=3
∵cos∠ABD=cos∠ABF=AB/BD=3/BD=4/5
∴BD=15/4

Answer 2