Question

求解一数学几何题目

数字题目，无图片。
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AE平分∠FAC，交BC于点E。D是AC中点，AH⊥BC交BC于点H，延长AH，交DE延长线于点F。求证：BF∥AE。
两条虚线是我作的辅助线。

Answer 1

用梅涅劳斯定理、三角形的内角平分线定理和平行截割定理之逆定理联合证明。

∵⊿AHC被直线FD所截，据梅涅劳斯定理有
(FH/FA)*(DA/DC)*(EC/EH)=1，其中DA=DC，
∴FH/FA=EH/EC；
∵AE是∠HAC的平分线，
∴EH/EC=AH/AC；
在Rt⊿ABC中，∵AH是斜边BC上的高，
∴AH/AC=BH/BA，得FH/FA=BH/BA，
注意到∠AEB=∠EAC+∠ECA=∠EAH+∠HAB=∠EAB，得BA=BE，
∴FH/FA=BH/BE，化为FH/HA=BH/HE，
据平行截割定理之逆定理，得BF∥AE。(证毕)
哪儿不懂请追问。

追问

抱歉，请问能否用初中所学定理求解？我是指，能否用同位角相等或内错角相等等方法证出。

追答

可以设法绕开梅涅劳斯定理，但比例线段和相似形却是必须要用的。

延长FD到G,使DG=FD，连接GC,由AD=DC可得⊿AFD≌⊿CGD，AF=CG且AF∥CG。

由平行截割定理得FH/FA=FH/CG=HE/EC。

过E作EJ⊥AC，垂足是J，∵AE平分∠FAC，AH⊥BC,∴HE=EJ，那么FH/FA=EJ/EC=sinACH；

过F作FK⊥AB，垂足是K，∵∠BAC=90°，AH⊥BC,∴∠KAF=∠ACH，

由FK/FA=sinKAF=sinACH=FH/FA，得FK=FH，则BF是∠KBC的平分线。

注意到∠AEB=∠EAC+∠ECA=∠EAH+∠HAB=∠EAB，

那么∠KBC=∠AEB+∠EAB=2∠AEB，∠FBE=∠KBC/2=∠AEB，

∴BF∥AE。

注：如果不用角的正弦，可以选用⊿EJC∽⊿AHC∽⊿BAC∽⊿FKA列比例式。

Answer 2

请问F点在哪里

追问

你好！F点是DE延长线和AH延长线的交点，在三角形ABC外。角FAC和角HAC指的是同一个角。

追答

给个图啊

追问

好吧，我画一个出来。你能做出来吗？