Question

几道高等数学题，请大神指点（万分感谢！）

设f(x)在[a,b]上二阶可导且f'(a)=f'(b)=0,试证：存在c属于(a,b),使得If''(c)I>=4/(b-a)²*If(b)-f(a)I
设f(x)在[0,1]上三阶连续可导，f(0)=1,f(1)=2,f'(1/2)=0,证明：至少存在一点c属于(0,1),使得If'''(c)I>=24
求下列曲线的曲率半径：（1）r=aθ；（2）r=ae^(mθ)
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b)，证明：存在c属于(a,b),使得f''(c)=g"(c)
已知函数f(x)在[0,1]上连续，在（0,1）内可导且f(0)=0,f(1)=1,证明：存在两个不同的点η，ζ属于（0,1），使得f'(η)f'(ζ)=1
假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数，并且g"(x)!=0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,试证：在(a,b)内至少存在一点c,使f(c)/g(c)=f"(c)/g"(c)
希望您能尽可能详细的写明解题过程或思路

Answer 1

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追问

额，谢谢大神，这么晚还帮我答题。

追答

追问

看了前面几题的解法，有种好神奇的感觉。不知道解题的人是怎么想出来的- -。另外，请问第五题的解法经典是指什么方面？
最后有一个伪命题希望大神能给我举出反例：周期函数的导数以及原函数均为周期函数。
PS. 其实上次还有一道题没有问，以为自己能做出来的，不过智商似乎有些不够用。下面一并列出：设a>1，f(t)=a'-at在(-∞,+∞)内驻点为t(a)，问a为何值时，t(a)最小？并求出最小值。

追答

经典在于构造，还有很多涉及两点的导数的等式都可以参考这种方法。
周期函数的导数为周期函数是真命题，而周期函数的原函数为周期函数是假命题，反例：f(x)=cosx+1

驻点为t(a)=1-ln(lna)/lna
t'(a)=[ln(lna)-1]/[a(lna)^2]
很容易从t'(a)=0得到：a=e^e
而且t(a)先减后增，所以t(e^e)=1-1/e最小

前面的第六题：令h(x)=f(x)g'(x)-f'(x)g(x)，在[a,b]上应用罗尔定理即可。我还在打的时候你的追问就过来了。嘿嘿
我是百度知道的专家哦，以后有问题可以直接向我提问。

Answer 2

1. 因为f'(a)=f'(b)=0 根据泰勒公式

   f(x)=f(a)+[f''(ξ1)/2](x-a)^2

   f(x)=f(b)+[f''(ξ2)/2](x-b)^2

       取x= (b+a)/2得：

    f((b+a)/2)=f(a)+ [f''(ξ1)/2]((b-a)/2)^2

    f((b+a)/2)=f(b)+ [f''(ξ2)/2]((b-a)/2)^2

    两式相减，得：

     f(b)-f(a)={[f''(ξ1)/2]-[f''(ξ2)/2]}((b-a)/2)^2

   4 | f(b)-f(a)|/(b-a)^2=(1/2)|f''(ξ1)-f''(ξ2)|≤(1/2)[|f''(ξ1|+|f''(ξ2)|]≤max{|f''(ξ1)|,|f''(ξ2)|}

令c满足|f''(c)|=max{|f''(ξ1)|,|f''(ξ2)|}

则：|f''(c)|≥ 4 | f(b)-f(a)|/(b-a)^2

 

追问

不好意思今天才看到，谢谢啦！但是还有几道题呢？如果觉得写全部过程麻烦的话，可以写下解题的思路，麻烦有空的时候回复一下。