Question

不等式问题（高中数学）

实数x,y满足x-y-2≤0
x+2y-5≥0
y-2≤0
则（x²+y²）/xy的取值范围是什么？

Answer 1

解：由题得：不等式x-y-2≤0 x+2y-5≥0 y-2≤0 的解域是由顶点(1, 2) 、(4,2) 、(3, 1) 构成的三角形区域。三顶点与原点(0, 0) 的斜率分别为：k1=2, k2=1/2, k3=1/3
所以。在解域中的点(x,y) 与原点(0, 0) 的斜率范围：1/3《k《2
因为，z=x^2+y^2/xy=x/y+y/x
令：k=y/x
则, z=k+1/k
在1/3《k《2中，因为k+1/k》2，当，k=1/k,即：k=1时，取等号，即：z=2
由z=k+1/k函数的图形性质知：0<k<1, 为单调减，所以，当k=1/3 ,z=10/3
k>1, 为单调增，所以，当k=2, z=5/2
所以，z=x^2+y^2/xy的取值范围为[ 2, 10/3]

Answer 2

画出x-y-2≤0 x+2y-5≥0 y-2≤0
的可行域
是一个包括边界的三角形
其三个顶点为（1,2），（4,2），（3，1）
因此x>0,y>0
而（x^2+y^2）/XY
=x/y+y/x
把y/x看作可行域内的点与原点的斜率，
则
1/3≤y/x≤2
设y/x=t（1/3≤t≤2）
则
x^2+y^2）/XY=x/y+y/x化为
f(t)=t+1/t (1/3≤t≤2）,
由”对勾函数“性质可得
t=1时f(t)有最小值2
t=1/3时f(t)有最大值1/3+3=10/3
所以（x^2+y^2）/XY的取值范围是
[2,10/3]
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