Question

高等数学，极限不等式定理推论求证。在同济高数课本37页

Answer 1

反证即可吗，
假设在x0的某去心邻域内f(x)大于等于0，但lim(x->x0) f(x)=B<0
由定理三的证明方法类似
可知对epsilon=|B|/2 存在在x0的某去心邻域内有 |f(x)-B|<|B|/2
那么在此邻域内 有 f(x)<B+|B|/2=-|B|/2<0
与假设x0的某去心邻域内f(x)大于等于0 矛盾 。

Answer 2

我们证明A>=0，A<=0类似可得。
证明：反证法，若A<0，此时【f(x)在x_0处的极限小于A，从而小于0】，那么根据定理3，存在x_0的某个去心邻域U'使得f(x)在U'内恒小于0。又根据题设f(x)在某个去心邻域U内恒有f(x)>=0，令U''=U∩U'，显然U''非空，那么f(x)在U''内既恒大于等于0又恒小于0，这不可能，矛盾，从而假设不成立，因此A>=0。