Question

设函数f(x)的定义域为(-3,3),且对任意x,y都有f(x)-f(y)=f(x-y),当x<0时,f(x)>0,f(1）=-2

设函数f(x)的定义域为(-3,3),且对任意x,y都有f(x)-f(y)=f(x-y),当x<0时,f(x)>0,f(1）=-2 。（1）求f（2）的值，判断f（x）的单调性并证明（2）若函数g(x )=f(1-x)+f（3-2x），求不等式g（x）+6小于或等于0的解集。

Answer 1

(1)任取x1,x2属于（-3,3）且x1<x2
则f（x1)-f(x2)=f(x1-x2)
∵x1<x2 ∴x1-x2<0,f（x1)-f(x2)=f(x1-x2)>0
∴f(x)为增函数
（2）由f(x)-f(y)=f(x-y)得f(x)+f(x-y)=f(y)

可以化简成：f(x)+f(y)=f(x+y)

于是，g(x)=g(x )=f(1-x)+f（3-2x）=f(4-3x)

∴g（x）+6=f(4-3x)+6
由 f(x)+f(y)=f(x+y)，令x=y=0,
则f(0)+f(0)=2f(0) ∴f(0)=0
令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0
∴f(x)=-f(-x)
∵f(1)+f(1)+f(1)=f(1+1+1)=f(3)=-6
∴f(-3)=-f(3)=6
∴g（x）+6=f(4-3x)+6=f(4-3x)+f(-3)=f(1-3x)=-f(3x-1)
∵当x<0时,f(x)>0

∴当3x-1>=0时，f(3x-1)=<0
∴当x>=1/3时，g（x）+6=-f(3x-1)=<0

追问

f(2)等于多少？

追答

Sorry,刚才没看见。
由 f(x)+f(y)=f(x+y),
f(2)=f(1)+f(1)=(-2)+(-2)=-4