Question

已知f(x)是定义域在R上的偶函数，且满足f(x+2)=-1/f(x),当2<=x<=3,f(x)=x,求f(9.5)的值?

Answer 1

f(x+2)=-1/f(x)，令x=x+2，
则f(x+4)=-1/f(x+2)
所以f(x+4)=-1/f(x+2)=-1/[-1/f(x)]=f(x)
所以周期为4
f(9.5)=f(9.5-12)=f(-2.5)
因为f(x)是定义域在R上的偶函数，
所以f(x)=f(-x),
f(-2.5)=f(2.5)=2.5
所以f(9.5)=2.5

追问

为什么把x换成x+2

追答

因为f(x+2)=-1/f(x)不够直观，需要进行处理，最简单的方法就是使等式延续一次，从而让负倒数关系变成直接相等，体现出周期性。
如果不换也可以，直接延续等号：
f(x+2)=-1/f(x)=-1/[-1/f(x-2)]
取两边的建立等式，f(x+2)=f(x-2)
这时再令x=x+2，就得到f(x+4)=f(x)，得出周期为4。

Answer 2

f(x+4)=f(x+2+2)=-1/f(x+2)=f(x). 所以f(9.5)=f(-9.5)=f(-9.5+12)=f(2.5)=2.5

Answer 3

追问

为什么把x换成x+2

追答

这要根据题的需要而设定，主要是求周期的需要，
比如说f(x-3)=-f(x+1),你看两个“变量整体”相差4，
那么你就把x换成x+4或x-4,不妨换成x-4吧：
得到：f(x-7)=-f(x-3),
于是f(x-7)=-[-f(x+1)]=f(x+1),两个“变量整体”相差8面函数值相等，所以它的周期是8。

追问

那f(x+2)=-1/f(x)“变量整体"怎么看出相差4的

追答

就是f后面那个括号里的式子。

追问

你打出一下给我看看?

追答

比如说f(x-3)=-f(x+1)中，前面个f括号内是(x-3),后面个f括号内是(x+1),
它们相差多少呢？|(x-3)-(x+1)|=4,