Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，且PA=PB=PC=PD,E为PC中点

（1）求证面PBD⊥面PAC
(2)若PA=2AD，求二面角A-PB-C的余弦值

Answer 1

（1）连接AC，与BD交点为O。连接PO
因为O为BD,AC中点，PA=PB=PC=PD，得出PO⊥BD，PO⊥AC
由于AC,BD相交且在平面ABCD上，所以PO⊥面ABCD。得出AC⊥PO因为AC⊥BD（正方形）
所以AC⊥面PBD，AC在面PAC上，所以面PAC⊥面PBD

（2）过A点向PB做垂线，垂足为G，连接GC
因为AC⊥面PBD，所以AC⊥PB。因为PB⊥AG,所以PB⊥面ACG，所以PB⊥CG
求∠AGC就是2面角。
∠AGC可以通过求每条边的长度来求得。

Answer 2

连接AC交BD与H,连接PH
∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，且H为BD中点
∵在△PBD中，PD=PB，H为中点，∴PH⊥BD
∴BD⊥面PAC

Answer 3

完整地为你解答一下！
解：⑴证明：取ABCD的中心为O点，连接OP,AC
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD
∵PA=PC又O点是AC的中点
∴PO⊥AC
∵BD∩PO=O又AC∈面PAC
∴面PBD⊥面PAC
⑵设正方形的边长为a，则PB=2a.
分别作△PAB的高PE,AF交AB,PB于点E,F，垂足为E,F
由勾股定理得，PE=√(PB²－BE²)=√15a/2
∵△PAB的面积=AB*PE/2=PB*AF/2
∴AF=√15a/4
即CF=AF=√15a/4
又AC=√(AB²+BC²)=√2a(至此，△AFC的三边长都求出来了。)
cos ∠AFC=(AF²+CF²－AC²)/2AF*CF=-1/15
故二面角A-PB-C的余弦值是-1/15。