Question

高中数学函数

已知函数fx=x-[1/(x+1)],gx=x^2-2ax+4若任意x1属于[0,1]都存在x2属于[1，2]使fx1≥gx2 则实数a的取值范围

Answer 1

对f(x)和g(x)分别求导数，得到f’(x)=1+1/(x+1)²，g'(x)=2x-2a
　　f’(x)=1+1/(x+1)²恒大于0，所以f(x)为单调递增函数，即当x=0时f(x)取最小值-1
　　又因为fx1≥gx2，所以g(x)的最大值≤-1
　　当a≥2时g'(x)<0,g(x)单调递减在x=1处取得最大值5-2a，令5-2a≤-1得a≥3，即a的取值范围是a≥3
　　当a≤1时g'(x)>0,g(x)单调递增在x=2处取得最大值8-4a，令8-4a≤-1得a≥9/4，与a≤1矛盾
　　当1≤a≤2时，对称轴在定义域内，故g(x)的极值出现在端点处，x=1时g(x)=5-2a,x=2时g(x)=8-4a,令5-2a和8-4a均小于等于-1得到a≥3，a≥9/4，与1≤a≤2矛盾
　　故实数a的取值范围是a≥3

Answer 2

分析：若任意x1属于[0,1]都存在x2属于[1，2]使fx1≥gx2 ，只需 g(x)有值小于或等于f(x)的所有值，即g(x)的最小值小于或等于f(x)的最小值，g(x)的最小值若不好求解，可分离参量再研究函数的最值

（1）、求f(x)在[0,1]上的最小值，函数f(x)在[0,1]是单调递增的，f(x)在[0,1]上的最小值为-1
（2）、存在x2属于[1，2]使f（x1 ）≥g（x2 ） ，即-1≥g（x2 ）成立，变形为2ax≥x^2+5
即2a≥（x^2+5）/x
(3)、h(x)=（x^2+5）/x在[1，2]单调递减，最小值为9/2
(4)、要使命题成立，只需2a≥9/2则a≥9/4