Question

高中奥数题求答案！

1、 已知x、y、z都是非负实数，且x＋y＋z＝1．求证：x(1－2x)(1－3x)＋y(1－2y)(1－3y)＋z(1－2z)(1－3z)≥0，并确定等号成立的条件． 2、试求正数r的最大值，使得点集T＝{(x,y)|x、y∈R，且x2＋(y－7)2≤r2}一定被包含于另一个点集S＝{(x,y)|x、y∈R，且对任何q∈R，都有cos2q＋xcosq＋y≥0}之中．

Answer 1

T表示的是以点（0,7）为圆心，r为半径的圆及内部；
S表示的是直线到直线cos2A＋xcosA＋y≥0的上方，
而点（0,7）到直线的距离为
d=(7+cos2A)/根号（1＋cosA平方）
因此，r<min(d)=4根号2

Answer 2

1.
x.y.z都是非负整数，故 x(1-2x)(1-3x)为正数，而三个式子相加等于零，所以x=y=z=1/3,代入成立