求y=1/2(e^x-e^-x)的反函数?
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y=1/2(e^x-e^-x)的反函数为y=ln(x+√(x^2+1))。
解:原函数为y=1/2*(e^x-e^(-x))
化解可得,2y*e^x=e^(2x)-1
e^(2x)-2y*e^x-1=0
令t=e^x,
则变为t^2-2yt-1=0
化简可得,(t-y)^2=y^2+1
解得t=y+√(y^2+1),或者t=y-√(y^2+1)。
又t=e^x>0,所以t=e^x=y+√(y^2+1),
那么x=ln(y+√(y^2+1))
所以y=1/2(e^x-e^-x)的反函数为y=ln(x+√(x^2+1))。
扩展资料:
反函数性质
1、函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射。
2、一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。
3、大部分偶函数不存在反函数。奇函数不一定存在反函数,被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数。
4、反函数的导数关系
如果x=f(y)在开区间I上严格单调,可导,且f'(y)≠0,那么它的反函数y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I }内也可导。
参考资料来源:百度百科-反函数
2016-01-20
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“求函数y=(e^x-e^(-x))/2的反函数?”.解法如下.
∵y=(e^x-e^(-x))/2 ==>2y=e^x-e^(-x)
==>2ye^x=e^(2x)-1
==>e^(2x)-2ye^x=1
==>e^(2x)-2ye^x+y²=1+y²
==>(e^x-y)²=1+y²
==>e^x-y=±√(1+y²)
==>e^x=y±√(1+y²)
==>x=ln│y±√(1+y²)│
==>x=±ln│y+√(1+y²)│ (∵ln│y-√(1+y²)│=-ln│y+√(1+y²)│)
==>x=±ln(y+√(1+y²)) (∵y+√(1+y²)>0)
∴原函数的反函数是 x=±ln(y+√(1+y²)).
∵y=(e^x-e^(-x))/2 ==>2y=e^x-e^(-x)
==>2ye^x=e^(2x)-1
==>e^(2x)-2ye^x=1
==>e^(2x)-2ye^x+y²=1+y²
==>(e^x-y)²=1+y²
==>e^x-y=±√(1+y²)
==>e^x=y±√(1+y²)
==>x=ln│y±√(1+y²)│
==>x=±ln│y+√(1+y²)│ (∵ln│y-√(1+y²)│=-ln│y+√(1+y²)│)
==>x=±ln(y+√(1+y²)) (∵y+√(1+y²)>0)
∴原函数的反函数是 x=±ln(y+√(1+y²)).
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2016-01-20
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y=1/2(e^x-e^-x)
2y*e^x=e^2x-1
e^2x-2y*e^x+y^2=y^2+1
(e^x-y)^2=y^2+1
e^x=y+√(y^2+1)
x=ln[y+√(y^2+1)]
交换x,y
y=ln[x+√(x^2+1)]
y=1/2(e^x-e^-x)的反函数
y=ln[x+√(x^2+1)]
2y*e^x=e^2x-1
e^2x-2y*e^x+y^2=y^2+1
(e^x-y)^2=y^2+1
e^x=y+√(y^2+1)
x=ln[y+√(y^2+1)]
交换x,y
y=ln[x+√(x^2+1)]
y=1/2(e^x-e^-x)的反函数
y=ln[x+√(x^2+1)]
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