Question

如图△ABC中，AB=AC,角A=36°，角ABC的平分线交AC于D。请你判断BC/CD=AC/BD吗？如果此等式成立

如图4-3.△ABC中，AB=AC,角A=36°，角ABC的平分线交AC于D。请你判断BC/CD=AC/BD吗？如果此等式成立，你知道它们的比值等于多少吗？

Answer 1

代数式成立；
则 BC/CD=AB/AD=AC/AD；
∵ AB=AC、∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=(180°-36°)/2=72°；
因 BD 是∠ABC的角平分线，∴ ∠ABD=72°/2=36°=∠BAD；
△ABD 是等腰三角形，故 BD=AD；∴ BC/CD=AC/AD=AC/BD；

利用角度推算可知，△BCD是与△ABC相似的等腰三角形，即 BD=BC；
由上述两三角形相似得 BC²=AC*CD=(AD+CD)*CD=(BC+CD)*CD=CD*BC+CD²；
解此一元二次方程可得 BC/CD=[(1+√5)/2]；

追问

未知数是不是BC/CD？麻烦提示一下解方程的过程。谢谢

追答

你就将BC看作未知数 x、CD看作常数，解一元二次方程：x²-CD*x-CD²=0；

Answer 2

设角ABD=角CBD=X,则角C=2X,角BDC=36+X，由内角和解得X=36，由三内角对应相等可得ABC与BDC相似，即证比值相等。至于比值可利用正弦定理换成sin值，得比值为2cos36度，如果要算出此值需要高次方程知识所以我觉得应该没到那程度。