Question

已知数列{an}满足a1=4,an=4-4/a（n-1）(n≥2)，令bn=1/ an-2. 1、求证：数列{bn}是等差数列 2、求数列{an

已知数列{an}满足a1=4,an=4-4/a（n-1）(n≥2)，令bn=1/ an-2. 1、求证：数列{bn}是等差数列 2、求数列{an}通项

Answer 1

你好

an=4-4/a(n-1)
an-2
=2-4/a(n-1)
=2[a(n-1)-2]/a(n-1)
1/(an-2)=a(n-1)/2[a(n-1)-2]
1/(an-2)=[a(n-1)-2+2]/2[a(n-1)-2]
1/(an-2)=1/2+1/[a(n-1)-2]
1/（a1-2）=1/2
bn=1/(an-2)=1/2+b(n-1)
bn-b(n-1)=1/2
所以数列{bn}是以1/2为首项，以1/2为公关的等差数列，
bn=n/2
1/(an-2)=n/2
得an=(2/n)+2

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Answer 2

1、
n≥2时，
an=4- 4/a(n-1)=[4a(n-1)-4]/a(n-1)
an -2=[2a(n-1)-4]/a(n-1)

1/(an -2)=a(n-1)/[2a(n-1) -4]=[a(n-1)-2+2]/[2a(n-1)-4]=1/[a(n-1)-2] +1/2
1/(an -2)-1/[a(n-1)-2]=1/2，为定值。
1/(a1-2)=1/(4-2)=1/2
数列{1/(an -2)}是以1/2为首项，1/2为公差的等差数列。
bn=1/(an -2)，数列{bn}是以1/2为首项，1/2为公差的等差数列。
2、
1/(an -2)=1/2+(1/2)(n-1)=n/2
an -2=2/n
an=2/n +2
数列{an}的通项公式为an=2/n +2。